科普专题：辛普森案中的条件概率谎言

图O·J·辛普森

辛普森是美国当年著名的橄榄球明星，因为涉嫌杀害自己的妻子被起诉，引起轩然大波，本来警方在案件现场收集到了很多证据，包括带血的手套、血迹、现场DNA检验。为了证实辛普森是有意图杀害自己妻子的，警方还特意收集了大量辛普森长期殴打虐待妻子的证据。似乎辛普森难逃被定罪伏法的命运，可是他的辩护律师们通过各种方法一一化解掉了检方的所有证据，在经历了长达9个月的审判后，辛普森被宣判无罪。

其中，由于警方收集了大量辛普森长期殴打虐待妻子的证据，因此检方提出辛普森极有可能杀害妻子，而辛普森的辩护律师为了去反驳检方，提出了一个概率问题，对话如下。

检方：辛普森长期殴打虐待妻子，因此极有可能杀害妻子。

辩护律师：在美国400万被虐待的妻子中，只有1432名是被其丈夫杀死的，所以辛普森杀死妻子的概率只有1432/4000000，约为1/2500，即0.04%。因此，辛普森杀死妻子是概率非常低的事件，也就是说辛普森几乎不可能杀死他的妻子。

辩词似乎听起来挺有道理的，检察官一时反应不过来，提不出好的理由进行反驳。但是，其实辩护律师在这里利用了检方提问的漏洞，设置了一个概率陷阱，我们来看一下。

辩护律师提出的概率，其实是以妻子被虐待（假设为A）的条件下，被其丈夫杀害（假设为B）的概率（P(B|A)），也就是我们学过的条件概率！

但是事实上，现在是妻子被虐待并且已经死亡，所以辩护律师的原假设（作为条件的事件A）不成立，那么真实的概率应该是怎样的呢？

为了计算出这个真实概率，我们假设A1表示“妻子被虐待”，A2表示“妻子死亡”，B表示“丈夫是凶手”。

这样一来，虽说美国有400万被虐待的妻子，但是被虐待并且死亡的妻子人数肯定不是（远小于）400万，可以假设是一个未知数N，而妻子被虐待并且死亡的条件下，丈夫是凶手的人数仍然是1432名。

那么，在“妻子被虐待并且死亡”的条件下，“丈夫是凶手”的概率，根据古典概型，就应为

并非辩护律师所说的1/2500（0.04%）。事实上，经过统计可以得到N约为1600，即

也就是说辛普森是凶手的概率约为89.5%，说明辛普森很有可能是凶手。

这里辩护律师利用检方的提问漏洞，设置了一个概率陷阱，偷偷地把被虐待并且死亡的妻子人数换成了被虐待的妻子人数！把前提条件改变了，导致条件概率降低了非常多，造成辛普森几乎不可能杀害妻子的假象！

那么，检方应该怎样提问呢？

很明显，应该这样。

检方：辛普森长期殴打虐待妻子并且现在妻子死亡，而在妻子被虐待并且死亡的案件中，非常多案件的凶手是丈夫，因此辛普森极有可能杀害妻子！

从辛普森杀妻案中，我们可以得到关于条件概率两个结论：

（1）条件不同，同一事件的条件概率也就不同；

（2）在某些情况下，条件对条件概率的影响很大。