我们从中学开始就称e是自然对数,那么为什么要称其为自然对数呢?它的自然体现在哪里呢?
那么我们首先列举一个我们生活中和e有关的例子——理财产品的计息问题。假设某宝年利率高达100%,投人1万元,实行复利计息,计算一年后的本息和。
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如果一年中计息一次,那么本息和:
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如果一年中半年计息一次(一年计息两次),那么它的半年期利率为50%,那么本息和:
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如果一年中每个季度计息一次(一年计息四次),那么它的每季度利率为25%,那么本息和:
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从上面的计算中我们不难看出,计息周期不断缩小,虽然一个计息周期内的利率在变小,但是本息和是在不断增大的。
那么我们就有了这样一个问题,如果一年中的计息次数像这样无限拆分下去?每分钟,每秒钟都在计息,那么我们是不是会成为百万富翁呢?
我们根据上述问题,建立数学模型,假设年利率为100%,在一年中有n次计息周期,那么每期的利率就是
,那么一年之后它的本息和就是
,如果计息周期n趋于无穷呢?若
,我们就将称为百万富翁!
但可惜的是,在《高等数学I》中我们已经学习了
是第二个重要极限,其极限值等于自然对数e。
我们回归正常的年利率,假设某宝年利率为5%,投入1万元,实行复利计息。假设1年内可无限次计息,求一年后的本息和。
解:若将一年平均分成n个时间段,则每个时间段的利率是
,一年后的本息和是
,若考虑无限次计息,则有:
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无限次计息条件下一年后的本息和是1.05127。
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可见,在这种情况下,无限次计息与按年计息相比,一年后的本息和最多相差12.7元。
我们了解了生活中的e,那么e之所以称为自然对数,就在于自然界中存在了大量和e相关的现象。
我们在数学中将
称为指数函数,这个表达式反映了很多自然现象,例如放射线性衰减、细菌的生长等。上述表达式我们也称为对数螺线,因为自然界中,银河系的结构,海螺等螺类生物的生长,一些植物的生长过程或形状就是以该螺线方程为基础。
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我们有一个成语叫做飞蛾扑火,那么我们有没有想过飞蛾为什么会有这样的行为呢?
我们假设飞蛾这辈子只能跟着光形成一个45°的夹角去飞行,由于太阳发出的光我们可以认为是一组平行光,那么他就会沿着直线飞行。
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那么如果这时候是一盏烛火,我们知道烛火作为点光源,相当于从烛火发出了无数条光线,当飞蛾继续与光线保持固定角度飞行时,就会沿着一条等螺线飞向烛火。
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